進京亭（杉並区下高井戸）｜エキテン
命数法の定式化 [ ] 命数法は、により異なる。 同じく、「十の四乗」を表す数を、では「一万」、では"ten thousand"（十千）と呼ぶ。 「二と三と五の積」を表す数は、二の三倍すなわち六を底にするなら「五六」、二の五倍すなわち十を底にするなら「三十」と呼ぶ。 命数法のうち、を用いて数を表す方法をという。 命数には、一般に「一」や「三」などを表す数詞、「」などを表す数詞、「百」や「千」など何かのを表す数詞とがある。 冪数は二乗と三乗が命名される一方、四乗と五乗（特に五乗）は命名されない場合がある。 位取りはが圧倒的に多いが、十進法に囚われる必要は無く、やも散見される。 定式化された命数法では、から桁の基数N（10と表記される数）までを一語または一字で命名し、基数の次からは「基数NにRを加えた数」として命名する。 そして、基数の二倍に達したら「M倍のN」という命名になり、基数の二倍の次は「M倍のNにRを加算」として命名される。 これを繰り返し、Nの二乗はNとは別の単語で数を命名して、「Nの二乗のM倍、NのM倍、そしてRの和」を繰り返し、以後はNの冪数が来た時に新しい数詞が命名される。 個別の数 [ ] 命数法の後にを括弧書きで示す。 三の四倍を表す数は、十進法では「十二」という命数法だが、十進法以外では全く別の命数法になる。 ：八四（1100）• ：九三（110）• ：三四（30）• ：二五二（22）• ：二六（20）• ：七五（15）• ：八四（14）• ：九三（13）• ：十二（12） 同じく、三の七倍を表す数も、以下のような命数法になる。 三進法：二九三（210）• 五進法：四五一（41）• 六進法：三六三（33）• 七進法：三七（30）• 八進法：二八五（25）• 九進法：二九三（23）• 十進法による命数法では、零からまでを一語または一字で命名し、十の次からは「」「」というように「十にRを加えた数」として命名する。 そして、十の二倍を「」というように「二倍の十」として命名し、その次は一つずつ「」「」というように「M倍の十に一を加算、二を加算…」という形式で命名し、「」「」と数えて、その次の十の二乗は「」という別の単語で命名する。 これ以後は、「」「百二」「百十」「二百」「三百四十五」…というように「M倍の百、M倍の十、そしてRの和」による命名を繰り返し、「九百九十八」「」と数えて、十の三乗で「」、十の四乗で「」というように十の冪数で新しい数詞を命名する。 三乗以後も、「三千四百五十六」や「一万二千三百四十五」というように「M倍の万、M倍の千、M倍の百、M倍の十、そしてRの和」の命数法となる。 別のN進法による命数法は、以上の十進法の説明を、別の N の場合に敷衍する事で成立する。 Nが十未満 [ ] この節にはが含まれているおそれがあります。 問題箇所をしして、記事の改善にご協力ください。 議論はを参照してください。 そして、三十四が「五六四」、が「五六五」（ 55 6）と数えて、その次で六の二乗である（ 100 6）で新しい数詞を命名することになる。 これを繰り返し、二百は「五洋三六二」（ 532 6）、二百十四は「五洋五六四」、は「五洋五六五」と数えて、次は六の三乗である、六の四乗であるなど、六の冪数で新しい数詞を命名する。 前述の「六＝陸、六の二乗＝海＝洋、六の三乗＝空 そら 」に倣って、二百十六を「宙」、千二百九十六を陸海空に続いて「岳」と命名した場合、三乗以後も同様で、（十の三乗）は「四宙三洋四六四」（ 4344 6）、は「一岳三宙洋三六二」（ 13132 6）、三千四百五十六は「二岳四宙」（ 3456 10＝ 24000 6）というように、「M倍の岳、M倍の宙、M倍の洋、M倍の六、そしてRの和」の形式の命数法となる。 八進法では、までの数詞と、やなど八の冪数を意味する数詞を組み合わせた命数法になる。 九進法では、までの数詞と、やなど九の冪数を意味する数詞を組み合わせた命数法になる。 この場合も、例えば十進命数法の「四十九」は、八進法では「六八一」（ 61 8）、九進法では「五九四」（ 54 9）となる。 Nが十を超過 [ ] この節にはが含まれているおそれがあります。 問題箇所をしして、記事の改善にご協力ください。 議論はを参照してください。 （ 2019年4月） による命数法では、零からまでを一語または一字で命名し、その次のを「十二に一を加算」として命名し、を「十二に十を加算」（ 1A 12）というように、十三からまでを「十二にRを加えた数」として命名する。 そして、十二の二倍であるを「二倍の十二」（ 20 12）として命名し、を「二倍の十二に、一を加算」、を「三倍の十二」（ 30 12）、を「九倍の十二に、十を加算」（ 9A 12）という風に「M倍の十二にRを加算」する命名を繰り返す。 これ以後は、を「百四十四に、一を加算」「簍一」、を「百四十四に、二倍の十二を加算」（ 120 12）、を「二倍の百四十四」「二簍」、を「二倍の百四十四に、六倍の十二を加算」「二簍六打」（ 260 12）、千四百四十を「十倍の百四十四」「十簍」（ A00 12）、千六百五十を「十一倍の百四十四、五倍の十二、そして六の和」（ B56 12）というように「M倍の百四十四、M倍の十二、そしてRの和」による命名を繰り返し、（十二の三乗）や（十二の四乗）といった十二の冪数で新しい数詞を命名する。 による命数法も同じく、零からまでの個別の数と、（ 100 20、二十の二乗）や（二十の三乗）や十六万（二十の四乗）など二十の冪数が、一語または一字で命名される。 四百未満の数も、を「二十に一を加算」、を「二十に十を加算」（ 1A 20）、を「二倍の二十」、を「二倍の二十に、一を加算」、を「三倍の二十」（ 30 20）、を「四倍の二十に、十二を加算」（ 4C 20）、二百八十八を「十四倍の二十に、八を加算」（ E8 20）、を「十九倍の二十に、十九を加算」（ JJ 20）、というように「M倍の二十にRを加算」する命数法になる。 四百以後の数も、を「四百に、一を加算」、を「四百に、二倍の二十を加算」（ 120 20）、八百を「二倍の四百」、千七百二十八（十二の三乗）を「四倍の四百、六倍の二十、そして八の和」（ 468 20）、を「七倍の四百に、十倍の二十を加算」（ 7A0 20）、七千二百を「十八倍の四百」（ I00 20）、七千七百七十六（六の五乗）を「十九倍の四百、八倍の二十、そして十六の和」（ J8G 20）、というように「M倍の四百、M倍の二十、そしてRの和」という形式で命名する。 英語では、を、"seventy"以外にも、"five dozen and ten"や"three score and ten"という言い方をする場合がある。 3A 20）である。 84 12）というように、十三から二十三までは「十二にRを加えた数」、二十四からまでの十二の倍数は「M倍の十二」という命数法になる。 25 20）という命数法になる。 DA 20）、といった数詞になる。 大きな数の命数法 [ ] の発展に伴い、大数を表すのに複数の位の数詞を組み合わせる方法が様々な言語で生まれた。 例えば日本語では12345678を「一千二百三十四 万五千六百七十八」と呼ぶ。 書くときに、の十進を併用して「1234万5678」とすることも広く行われている。 漢数字 [ ] 大数 [ ] に由来するでは、以下の数詞で大数を示す。 、、、、、、、、… 中国の算術書であるの徐岳『 （）』やの甄鸞『 （）』によると、万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。 下数、中数、上数である。 当初は万（10 4）を区切りとして十万（10 5）、百万（10 6）、千万（10 7）まで表していた。 これとは別に、万から1桁ごとに億（10 5）、兆（10 6）、と名付けていた。 これを 下数（かすう）と呼ぶ。 代あたりから、 上数（じょうすう）が記載され始めた。 数詞が表す位のが次の数詞となる。 万万が億（10 8）であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆（10 16）、兆兆が京（10 32）となる。 実際に使われたことはないようであり、書では用いられていない。 その後、千万の次を億とし、十億（10 9）、百億（10 10）と続けていく方法が考案された。 これを 中数（ちゅうすう）という。 ただし、初期の数学書に示されている中数は万万（10 8）倍ごとに新たな名称をつける方式であった。 すなわち、千億（10 11）、万億（10 12）、十万億（10 13）と続き、億の万万倍を兆（10 16）、兆の万万倍を京（10 24）とする。 これを 万万進という。 後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆（10 12）とする 万進に移行した。 日本では、（4年）の『』の初版において初めて大きな数が登場するが、極以下が下数、恒河沙より上を万万進の中数としていた。 （寛永8年）の版では極以下が万進に改められ、（寛永11年）の版ではすべて万進に統一された。 今日でも万進だけが使用されている。 中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。 それに加えて、のの（10 6）に「兆」（下数における 10 6）の字をあてたため、さらに混乱が生じた。 今日では、「億」は中数の 10 8、「兆」は下数の 10 6 の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。 日本でいう兆（10 12）は「万億」といい、京以上については、例えば 10 16 は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。 台湾には日本の命数法が導入されていたので、兆は 10 12 であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。 これは下数にあたる。 『塵劫記』での命数は以下のようになっている。 位の大きなものの名称については版によって相違がある。 併記した記数は万進による。 塵劫記での命数 （いち） 10 0 （じゅう） 10 1 （ひゃく） 10 2 （せん） 10 3 （まん） 10 4 十万 10 5 百万 10 6 千万 10 7 （おく） 10 8 十億 10 9 百億 10 10 千億 10 11 （ちょう） 10 12 十兆 10 13 百兆 10 14 千兆 10 15 （けい、きょう） 10 16 十京 10 17 百京 10 18 千京 10 19 （がい） 10 20 十垓 10 21 百垓 10 22 千垓 10 23 （じょ）、（し） 10 24 十𥝱 10 25 百𥝱 10 26 千𥝱 10 27 （じょう） 10 28 十穣 10 29 百穣 10 30 千穣 10 31 （こう） 10 32 十溝 10 33 百溝 10 34 千溝 10 35 （かん） 10 36 十澗 10 37 百澗 10 38 千澗 10 39 （せい） 10 40 十正 10 41 百正 10 42 千正 10 43 （さい） 10 44 十載 10 45 百載 10 46 千載 10 47 （ごく） 10 48 十極 10 49 百極 10 50 千極 10 51 （ごうがしゃ） 10 52 十恒河沙 10 53 百恒河沙 10 54 千恒河沙 10 55 （あそうぎ） 10 56 十阿僧祇 10 57 百阿僧祇 10 58 千阿僧祇 10 59 （なゆた） 10 60 十那由他 10 61 百那由他 10 62 千那由他 10 63 （ふかしぎ） 10 64 十不可思議 10 65 百不可思議 10 66 千不可思議 10 67 （むりょうたいすう） 10 68 十無量大数 10 69 百無量大数 10 70 千無量大数 10 71 全て万万進の場合は1兆＝10 16、1京＝10 24、1垓＝ 32、1𥝱＝10 40、1穣＝10 48、1溝＝10 56、1澗＝10 64、1正＝10 72、1載＝10 80、1極＝10 88、1恒河沙＝10 96、1阿僧祇＝10 104、1那由多＝10 112、1不可思議＝10 120、1無量大数＝10 128となる。 『塵劫記』のいくつかの写本では1恒河沙＝1億極、1阿僧祇＝1億恒河沙というように恒河沙から8桁刻み（ 万万進）となる。 この説に従うと1恒河沙＝10 56、1阿僧祇＝10 64、1那由他＝10 72、1不可思議＝10 80、1無量大数＝10 88となる。 なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。 無量大数で一つの数とするのが普通である。 小数 [ ] 小数については、一桁（0. 1倍）ごとに新たな名前を付ける下数が行われているが、これも、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。 例えば『 （）』では沙以下は万万進としているほか、「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」の4つの別の名とするなどの違いがある。 以下は一例である。 実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。 なお、「六徳」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。 実際に桁を連ねるときは、「二 寸三分四厘」のように1の位の後に「基準（ここでは「寸」）」をつける。 現代的な表現が「2. 34 寸」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。 しかし、これは「2. 34寸」と同様の表現である。 分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」（例えば、寸、割、匁など）の小数を意味することを理解しておく必要がある。 仏典の数詞 [ ] もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示してのの大きさを表したものである。 10 10 を拘梨とし、拘梨以上を上数として121の命数が列挙されている。 八十華厳 [ ] の訳の『（八十華厳）』（新訳華厳経、唐経、279）の第45巻「阿僧祇品第三十」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている。 10 5 を、100洛叉（10 7）を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。 四十華厳 [ ] の般若三蔵訳の『（四十華厳）』（貞元経、293）の第10巻「入不思議解脱境界普賢行願品」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている。 10 5 を、100洛叉（10 7）を倶胝とし、倶胝以上を上数として144の命数が列挙されている。 ：按黃帝為法、數有十等。 及其用也、乃有三焉。 十等者、謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載也。 三等者、謂上、中、下也。 其下數者、十十變之。 若言十萬曰億、十億曰兆、十兆曰京也。 中數者、萬萬變之。 若言萬萬曰億、萬萬億曰兆、萬萬兆曰京也。 上數者、數窮則變。 若言萬萬曰億、億億曰兆、兆兆曰京也。 若以下數言之、則十億曰兆；若以中數言之、則萬萬億曰兆；若以上數言之、則億億曰兆。 2018年3月2日閲覧。 第一：大数の名の事• 2018年3月2日閲覧。 第二：小数の名の事• SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。 CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。 SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。 CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。 SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。 CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。 関連項目 [ ]• 外部リンク [ ]•
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